Cercul — elemente, lungime și arie

Cercul — lecție completă

Cercul de centru O și rază R este mulțimea punctelor din plan aflate la distanța R de O. Discul este suprafața mărginită de cerc.

Elementele cercului

• Raza (R) — segmentul de la centru la un punct al cercului;
• Coarda — segmentul care unește două puncte ale cercului;
• Diametrul (d = 2R) — coarda care trece prin centru, cea mai lungă;
• Arcul — porțiunea de cerc dintre două puncte;
• Tangenta — dreapta care atinge cercul într-un singur punct; este perpendiculară pe raza dusă în punctul de tangență.

Lungimea cercului și aria discului

π (pi) ≈ 3,14 este raportul dintre lungimea oricărui cerc și diametrul lui — un număr irațional.

Unghi la centru și unghi înscris

• Unghiul la centru (vârful în O) are măsura egală cu a arcului cuprins între laturi.
• Unghiul înscris (vârful pe cerc) are măsura jumătate din arcul cuprins.
• Consecință importantă: unghiul înscris în semicerc are 90° — un triunghi cu o latură diametru este dreptunghic.

Poziții relative

• Dreaptă și cerc: exterioară (0 puncte comune), tangentă (1 punct), secantă (2 puncte).
• Tangentele duse dintr-un punct exterior sunt congruente.

Sectorul de cerc

„Felia" cuprinsă între două raze. Pentru unghiul la centru de n°: lungimea arcului = 2πR × n/360, aria sectorului = πR² × n/360. Exemplu: un sector de 90° dintr-un disc cu R = 4 are aria 16π/4 = 4π.

Problemă rezolvată

O roată are diametrul de 70 cm. Câți metri parcurge la 100 de rotații complete? (π ≈ 3,14)

La o rotație parcurge lungimea cercului: L = πd = 3,14 × 70 = 219,8 cm ≈ 2,198 m. La 100 de rotații: ≈ 219,8 m.

Greșeli frecvente

• Confundarea formulelor: 2πR este lungimea, πR² este aria — aria are pătratul.
• Folosirea diametrului în loc de rază în formule: dacă d = 10, atunci R = 5 și A = 25π, nu 100π.
• Unghiul înscris este jumătate din unghiul la centru, nu egal cu el.