Formulele de calcul prescurtat — (a±b)² și (a−b)(a+b)

Cele trei formule de calcul prescurtat: pătratul sumei, pătratul diferenței și produsul sumei cu diferența, cu demonstrații, exemple și greșeli frecvente.

Formulele de calcul prescurtat

Cele trei formule pe care le folosești constant din clasa a VII-a până la Evaluarea Națională:

Formula	Dezvoltarea
Pătratul sumei	(a + b)² = a² + 2ab + b²
Pătratul diferenței	(a − b)² = a² − 2ab + b²
Produsul sumei cu diferența	(a − b)(a + b) = a² − b²

De unde vin (demonstrație)

(a + b)² = (a + b)(a + b) = a² + ab + ba + b² = a² + 2ab + b². La fel celelalte — sunt doar înmulțiri de paranteze, memorate ca să nu le refaci de fiecare dată.

Exemple de dezvoltare

(x + 5)² = x² + 10x + 25
(2x − 3)² = 4x² − 12x + 9
(3a − 4b)(3a + 4b) = 9a² − 16b²
(x + 1/2)² = x² + x + 1/4

Calcul rapid fără calculator

101² = (100 + 1)² = 10 000 + 200 + 1 = 10 201
99² = (100 − 1)² = 10 000 − 200 + 1 = 9 801
102 × 98 = (100 + 2)(100 − 2) = 10 000 − 4 = 9 996

În sens invers: descompunerea în factori

Formulele citite de la dreapta la stânga descompun expresii în produse:

x² − 9 = x² − 3² = (x − 3)(x + 3)
x² + 6x + 9 = (x + 3)²
4a² − 20a + 25 = (2a − 5)²
2x² − 8 = 2(x² − 4) = 2(x − 2)(x + 2) — întâi factorul comun, apoi formula.

Cum recunoști un pătrat perfect: trei termeni, primul și ultimul sunt pătrate (x² și 9), iar termenul din mijloc este ± dublul produsului bazelor (2 × x × 3 = 6x). Dacă mijlocul nu se potrivește, nu e (a ± b)².

Exercițiu rezolvat (tip examen)

Arătați că E = (x + 2)² − (x − 1)(x + 1) − 4x − 5 nu depinde de x.

E = x² + 4x + 4 − (x² − 1) − 4x − 5 = x² + 4x + 4 − x² + 1 − 4x − 5 = 0. Expresia este constantă (egală cu 0) pentru orice x. ✓

Greșeli frecvente

(a + b)² ≠ a² + b² — lipsește 2ab, cea mai frecventă greșeală din algebra de gimnaziu.
La (a − b)², termenul 2ab are minus, dar b² are plus: (x − 3)² = x² − 6x + 9, nu x² − 6x − 9.
a² − b² se descompune, dar a² + b² nu se descompune în R.

Întrebări frecvente

Care sunt formulele de calcul prescurtat din gimnaziu?

Pătratul sumei: (a + b)² = a² + 2ab + b². Pătratul diferenței: (a − b)² = a² − 2ab + b². Produsul sumei cu diferența: (a − b)(a + b) = a² − b².

De ce (a + b)² nu este a² + b²?

Pentru că (a + b)² = (a + b)(a + b), iar la înmulțirea parantezelor apar și termenii ab + ba = 2ab. Verificare: (2 + 3)² = 25, dar 2² + 3² = 13.

La ce folosesc formulele de calcul prescurtat?

La calcul rapid (101² = 10 201 fără înmulțire), la descompunerea în factori (x² − 9 = (x − 3)(x + 3)) și la raționalizarea numitorilor cu radicali.