Sistemele de două ecuații — substituție și reducere

Sistemele de două ecuații cu două necunoscute

Forma generală: două ecuații de gradul I care trebuie satisfăcute simultan. Soluția este perechea (x, y). Există două metode standard.

Metoda substituției

Rezolvați sistemul: x + y = 7 și 2x − y = 2.

1. Din prima ecuație: y = 7 − x.
2. Înlocuim în a doua: 2x − (7 − x) = 2 → 2x − 7 + x = 2 → 3x = 9 → x = 3.
3. Revenim: y = 7 − 3 = 4.

Soluția: (x, y) = (3, 4). Verificare în ambele ecuații: 3 + 4 = 7 ✓ și 2×3 − 4 = 2 ✓.

Metoda reducerii

Rezolvați sistemul: 3x + 2y = 12 și 5x − 2y = 4.

1. Coeficienții lui y sunt +2 și −2 — adunăm ecuațiile membru cu membru: 8x = 16 → x = 2.
2. Înlocuim în prima: 6 + 2y = 12 → 2y = 6 → y = 3.

Soluția: (2, 3).

Dacă niciun coeficient nu se anulează direct, înmulțești fiecare ecuație cu un număr potrivit. Pentru 2x + 3y = 8 și 3x − 2y = −1: înmulțești prima cu 2 și a doua cu 3 → 4x + 6y = 16 și 9x − 6y = −3; prin adunare 13x = 13, x = 1, apoi y = 2.

Probleme care se pun în sistem

Suma a două numere este 25, iar diferența lor este 7. Aflați numerele.

x + y = 25 și x − y = 7. Adunăm: 2x = 32 → x = 16, apoi y = 9.

La un concurs, fiecare răspuns corect aduce 5 puncte, fiecare greșit scade 2. Din 20 de întrebări, un elev a obținut 79 de puncte. Câte răspunsuri corecte a dat?

x + y = 20 și 5x − 2y = 79. Din prima: y = 20 − x → 5x − 40 + 2x = 79 → 7x = 119 → x = 17 corecte (și 3 greșite).

Cazuri speciale

• Sistem incompatibil (fără soluții): x + y = 3 și x + y = 5 — prin scădere, 0 = 2, fals.
• Sistem nedeterminat (o infinitate de soluții): x + y = 3 și 2x + 2y = 6 — a doua e prima înmulțită cu 2.

Greșeli frecvente

• La substituție, uitarea parantezei: 2x − (7 − x), nu 2x − 7 − x.
• La reducere, înmulțirea unei ecuații doar „pe jumătate" — toți termenii, inclusiv cel liber, se înmulțesc.
• Verificarea soluției doar într-o ecuație — perechea trebuie să le verifice pe ambele.