Divizibilitatea — divizori, multipli și criterii
Divizibilitatea — lecție completă
Numărul natural a este divizibil cu numărul natural b (b ≠ 0) dacă există un număr natural c astfel încât a = b × c. Se scrie b | a („b divide a") sau a ⋮ b („a se divide cu b").
- b este divizor al lui a — exemplu: divizorii lui 12 sunt 1, 2, 3, 4, 6, 12.
- a este multiplu al lui b — exemplu: multiplii lui 4 sunt 0, 4, 8, 12, 16, …
Orice număr natural n ≥ 2 are cel puțin doi divizori: 1 și n — aceștia se numesc divizori improprii; ceilalți sunt divizori proprii.
Criteriile de divizibilitate
| Divizibil cu | Criteriul | Exemplu |
|---|---|---|
| 2 | ultima cifră este pară (0, 2, 4, 6, 8) | 374 ✓, 121 ✗ |
| 5 | ultima cifră este 0 sau 5 | 485 ✓, 502 ✗ |
| 10 | ultima cifră este 0 | 730 ✓, 705 ✗ |
| 3 | suma cifrelor este divizibilă cu 3 | 417 → 4+1+7=12 ✓ |
| 9 | suma cifrelor este divizibilă cu 9 | 738 → 7+3+8=18 ✓ |
| 4 | numărul format din ultimele două cifre este divizibil cu 4 | 1 316 → 16 ✓ |
| 25 | ultimele două cifre: 00, 25, 50 sau 75 | 3 275 ✓ |
Un număr divizibil cu 9 este automat divizibil și cu 3, dar invers nu: 15 este divizibil cu 3, însă nu cu 9.
Numere prime și numere compuse
- Prim — are exact doi divizori (1 și el însuși): 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, …
- Compus — are mai mult de doi divizori: 4, 6, 8, 9, 10, 12, …
- 1 nu este nici prim, nici compus (are un singur divizor).
- 2 este singurul număr prim par.
Descompunerea în factori primi
Orice număr compus se scrie în mod unic ca produs de puteri de numere prime. Împarți succesiv la 2, 3, 5, 7, … :
180 | 2 90 | 2 45 | 3 15 | 3 5 | 5 1 | → 180 = 2² × 3² × 5
Din descompunere afli și numărul divizorilor: adaugi 1 la fiecare exponent și înmulțești. Pentru 180: (2+1)(2+1)(1+1) = 18 divizori.
Problemă rezolvată
Aflați cifra x astfel încât numărul 52x (x = cifra unităților) să fie divizibil cu 3.
Suma cifrelor: 5 + 2 + x = 7 + x. Trebuie ca 7 + x să fie divizibil cu 3, deci 7 + x ∈ {9, 12, 15}, adică x ∈ {2, 5, 8}.
Greșeli frecvente
- Criteriul cu 3 și 9 se aplică pe suma cifrelor, nu pe ultima cifră.
- 0 este multiplu al oricărui număr (0 = b × 0), dar nu este divizor al niciunui număr.
- „Divizibil cu 2 și cu 3" înseamnă divizibil cu 6 — dar „divizibil cu 2 și cu 4" nu înseamnă divizibil cu 8 (ex.: 4).