Puterile — reguli de calcul cu puteri
Puterile — lecție completă
Puterea an înseamnă înmulțirea bazei a cu ea însăși de n ori: an = a × a × … × a (n factori). a = baza, n = exponentul.
Exemple: 34 = 3 × 3 × 3 × 3 = 81; 106 = 1 000 000 (1 urmat de 6 zerouri).
Cazuri speciale
- a1 = a și a0 = 1 (pentru a ≠ 0);
- 1n = 1 și 0n = 0 (pentru n ≥ 1);
- 10n = 1 urmat de n zerouri.
Regulile de calcul cu puteri
| Regula | Formula | Exemplu |
|---|---|---|
| Înmulțirea puterilor cu aceeași bază | am × an = am+n | 2³ × 2⁴ = 2⁷ |
| Împărțirea puterilor cu aceeași bază | am : an = am−n | 5⁶ : 5² = 5⁴ |
| Puterea unei puteri | (am)n = am×n | (2³)⁴ = 2¹² |
| Puterea unui produs | (a × b)n = an × bn | 6⁴ = 2⁴ × 3⁴ |
| Puterea unui cât | (a : b)n = an : bn | (10 : 5)³ = 10³ : 5³ |
Regulile merg doar la aceeași bază (sau același exponent). Pentru 2³ × 5² nu există regulă — calculezi fiecare putere: 8 × 25 = 200.
Compararea puterilor
- Aceeași bază (mai mare ca 1): e mai mare puterea cu exponentul mai mare: 3¹⁰ > 3⁷.
- Același exponent: e mai mare puterea cu baza mai mare: 7⁵ > 4⁵.
- Baze și exponenți diferiți: aduci la aceeași bază sau la același exponent folosind (am)n = amn.
Exemplu: comparați 2⁴⁵ și 3³⁰. Exponenții au divizorul comun 15: 2⁴⁵ = (2³)¹⁵ = 8¹⁵ și 3³⁰ = (3²)¹⁵ = 9¹⁵. Cum 9 > 8, rezultă 3³⁰ > 2⁴⁵.
Ultima cifră a unei puteri
Ultimele cifre ale puterilor se repetă ciclic. Pentru 2: 2, 4, 8, 6, 2, 4, … (ciclu de 4). Ca să afli ultima cifră a lui 2¹⁰⁰: 100 = 4 × 25 (rest 0) → ultima cifră din ciclu, adică 6. Metoda apare des la exerciții de tip „arătați că numărul nu e pătrat perfect".
Exercițiu rezolvat
Calculați: (2⁵ × 2³) : 2⁶ + 3⁰
2⁵ × 2³ = 2⁸; 2⁸ : 2⁶ = 2² = 4; 3⁰ = 1. Rezultat: 4 + 1 = 5.
Greșeli frecvente
- 2³ × 2⁴ = 2⁷, nu 4⁷ (baza se păstrează!) și nu 2¹².
- (a + b)² ≠ a² + b² — puterea unui produs se distribuie, a unei sume nu.
- a⁰ = 1, nu 0.